Matemática discreta Ejemplos

$x^{2} - 4 y^{2} = 16$ , $2 y - x = 2$

Paso 1

Resuelve $y$ en $2 y - x = 2$ .

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Paso 1.1

Suma $x$ a ambos lados de la ecuación.

$2 y = 2 + x$

$x^{2} - 4 y^{2} = 16$

Paso 1.2

Divide cada término en $2 y = 2 + x$ por $2$ y simplifica.

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Paso 1.2.1

Divide cada término en $2 y = 2 + x$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{2}{2} + \frac{x}{2}$

$x^{2} - 4 y^{2} = 16$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{2}{2} + \frac{x}{2}$

$x^{2} - 4 y^{2} = 16$

Paso 1.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{2}{2} + \frac{x}{2}$

$x^{2} - 4 y^{2} = 16$

$y = \frac{2}{2} + \frac{x}{2}$

$x^{2} - 4 y^{2} = 16$

$y = \frac{2}{2} + \frac{x}{2}$

$x^{2} - 4 y^{2} = 16$

Paso 1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1

Divide $2$ por $2$ .

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$x^{2} - 4 y^{2} = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$x^{2} - 4 y^{2} = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$x^{2} - 4 y^{2} = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$x^{2} - 4 y^{2} = 16$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $y$ por $1 + \frac{x}{2}$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x^{2} - 4 y^{2} = 16$ por $1 + \frac{x}{2}$ .

$x^{2} - 4 {(1 + \frac{x}{2})}^{2} = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica $x^{2} - 4 {(1 + \frac{x}{2})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Reescribe ${(1 + \frac{x}{2})}^{2}$ como $(1 + \frac{x}{2}) (1 + \frac{x}{2})$ .

$x^{2} - 4 ((1 + \frac{x}{2}) (1 + \frac{x}{2})) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Paso 2.2.1.1.2

Expande $(1 + \frac{x}{2}) (1 + \frac{x}{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} - 4 (1 (1 + \frac{x}{2}) + \frac{x}{2} \cdot (1 + \frac{x}{2})) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} - 4 (1 \cdot 1 + 1 (\frac{x}{2}) + \frac{x}{2} \cdot (1 + \frac{x}{2})) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Paso 2.2.1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} - 4 (1 \cdot 1 + 1 (\frac{x}{2}) + \frac{x}{2} \cdot 1 + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2}) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$x^{2} - 4 (1 \cdot 1 + 1 (\frac{x}{2}) + \frac{x}{2} \cdot 1 + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2}) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Paso 2.2.1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.2.1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.3.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$x^{2} - 4 (1 + 1 (\frac{x}{2}) + \frac{x}{2} \cdot 1 + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2}) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Paso 2.2.1.1.3.1.2

Multiplica $\frac{x}{2}$ por $1$ .

$x^{2} - 4 (1 + \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot 1 + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2}) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Paso 2.2.1.1.3.1.3

Multiplica $\frac{x}{2}$ por $1$ .

$x^{2} - 4 (1 + \frac{x}{2} + \frac{x}{2} + \frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2}) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Paso 2.2.1.1.3.1.4

Multiplica $\frac{x}{2} \cdot \frac{x}{2}$ .

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Paso 2.2.1.1.3.1.4.1

Multiplica $\frac{x}{2}$ por $\frac{x}{2}$ .

$x^{2} - 4 (1 + \frac{x}{2} + \frac{x}{2} + \frac{x \cdot x}{2 \cdot 2}) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Paso 2.2.1.1.3.1.4.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{2} - 4 (1 + \frac{x}{2} + \frac{x}{2} + \frac{x \cdot x}{2 \cdot 2}) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Paso 2.2.1.1.3.1.4.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{2} - 4 (1 + \frac{x}{2} + \frac{x}{2} + \frac{x \cdot x}{2 \cdot 2}) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Paso 2.2.1.1.3.1.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{2} - 4 (1 + \frac{x}{2} + \frac{x}{2} + \frac{x^{1 + 1}}{2 \cdot 2}) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Paso 2.2.1.1.3.1.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$x^{2} - 4 (1 + \frac{x}{2} + \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{2 \cdot 2}) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Paso 2.2.1.1.3.1.4.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$x^{2} - 4 (1 + \frac{x}{2} + \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{4}) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$x^{2} - 4 (1 + \frac{x}{2} + \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{4}) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$x^{2} - 4 (1 + \frac{x}{2} + \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{4}) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Paso 2.2.1.1.3.2

Suma $\frac{x}{2}$ y $\frac{x}{2}$ .

$x^{2} - 4 (1 + 2 (\frac{x}{2}) + \frac{x^{2}}{4}) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$x^{2} - 4 (1 + 2 (\frac{x}{2}) + \frac{x^{2}}{4}) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Paso 2.2.1.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$x^{2} - 4 (1 + 2 (\frac{x}{2}) + \frac{x^{2}}{4}) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Paso 2.2.1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} - 4 (1 + x + \frac{x^{2}}{4}) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$x^{2} - 4 (1 + x + \frac{x^{2}}{4}) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Paso 2.2.1.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} - 4 \cdot 1 - 4 x - 4 \frac{x^{2}}{4} = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Paso 2.2.1.1.6

Simplifica.

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Paso 2.2.1.1.6.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x^{2} - 4 - 4 x - 4 \frac{x^{2}}{4} = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Paso 2.2.1.1.6.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.2.1.1.6.2.1

Factoriza $4$ de $- 4$ .

$x^{2} - 4 - 4 x + 4 (- 1) (\frac{x^{2}}{4}) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Paso 2.2.1.1.6.2.2

Cancela el factor común.

$x^{2} - 4 - 4 x + 4 \cdot (- 1 \frac{x^{2}}{4}) = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Paso 2.2.1.1.6.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{2} - 4 - 4 x - 1 x^{2} = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$x^{2} - 4 - 4 x - 1 x^{2} = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$x^{2} - 4 - 4 x - 1 x^{2} = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Paso 2.2.1.1.7

Reescribe $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$x^{2} - 4 - 4 x - x^{2} = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$x^{2} - 4 - 4 x - x^{2} = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Paso 2.2.1.2

Combina los términos opuestos en $x^{2} - 4 - 4 x - x^{2}$ .

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Paso 2.2.1.2.1

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$- 4 - 4 x + 0 = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Paso 2.2.1.2.2

Suma $- 4 - 4 x$ y $0$ .

$- 4 - 4 x = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$- 4 - 4 x = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$- 4 - 4 x = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$- 4 - 4 x = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$- 4 - 4 x = 16$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Paso 3

Resuelve $x$ en $- 4 - 4 x = 16$ .

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$- 4 x = 16 + 4$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Paso 3.1.2

Suma $16$ y $4$ .

$- 4 x = 20$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$- 4 x = 20$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Paso 3.2

Divide cada término en $- 4 x = 20$ por $- 4$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $- 4 x = 20$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{20}{- 4}$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{20}{- 4}$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Paso 3.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{20}{- 4}$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$x = \frac{20}{- 4}$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$x = \frac{20}{- 4}$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Divide $20$ por $- 4$ .

$x = - 5$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$x = - 5$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$x = - 5$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

$x = - 5$

$y = 1 + \frac{x}{2}$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $x$ por $- 5$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $y = 1 + \frac{x}{2}$ por $- 5$ .

$y = 1 + \frac{- 5}{2}$

$x = - 5$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $1 + \frac{- 5}{2}$ .

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Paso 4.2.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = 1 - \frac{5}{2}$

$x = - 5$

Paso 4.2.1.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$y = \frac{2}{2} - \frac{5}{2}$

$x = - 5$

Paso 4.2.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{2 - 5}{2}$

$x = - 5$

Paso 4.2.1.4

Resta $5$ de $2$ .

$y = \frac{- 3}{2}$

$x = - 5$

Paso 4.2.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{3}{2}$

$x = - 5$

$y = - \frac{3}{2}$

$x = - 5$

$y = - \frac{3}{2}$

$x = - 5$

$y = - \frac{3}{2}$

$x = - 5$

Paso 5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(- 5, - \frac{3}{2})$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(- 5, - \frac{3}{2})$

Forma de la ecuación:

$x = - 5, y = - \frac{3}{2}$

Paso 7